LINEAARINEN OHJELMOINTI

Matemaattinen optimointi käsittelee tietyt ehdot täyttäviä ääriarvotehtäviä. Usein käytännön optimointitehtävät ovat maksimointitehtäviä. Kohdefunktion tyypin ja käyvän joukon luonteen perusteella on olemassa erilaisia optimointitehtäviä. Jos kohdefunktio on lineaarinen, niin kysymys on lineaarisesta optimoinnista.

Lineaarisen optimoinnin juuret ovat 30 –luvulla, jolloin von Neumann, Kantorovich ja Koopmans kehittelivät sitä taloustieteen ongelmien ratkaisemiseen. Tästä on syntynyt myös menetelmän outo nimitys ”ohjelmointi”: ”the search of an optimal economic program”. Laajempaa huomiota menetelmä saavutti 40 –luvulla, kun USA:n armeija kiinnostui menetelmästä sotilaallisten ongelmien ratkaisemisessa. Merkittävin käänne lineaarisen ohjelmoinnin kehityksessä tapahtui 40 –luvun puolivälissä, kun George Danzig kehitti Simplex –algoritmin optimointitehtävän ratkaisemiseen.

Lineaarisella ohjelmoinnilla taloudellisten ongelmien ratkaisemisessa tarkoitetaan siis mallia, jolla minimoidaan tai maksimoidaan rajoitteiden alainen tavoitefunktio.

Mallin komponentit:
Päätösmuuttujat
Tavoitefunktio
Rajoitteet

Mallin oletukset:
Vakioisuus
Suhteellisuus
Additiivisuus
Jaettavuus

Malli voidaan ratkaista esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
Yritys ja erehdys –menetelmällä
Graafisesti
Excelin Solver -apuohjelmalla

Excel –terminologia optimoinnille löytyy Solver –apuohjelmasta:
Tavoite<==>Kohdesolu
Päätösmuuttujat <==> Muuttamalla soluja
Rajoitteet<==>Reunaehdot

Solver ei ole oletuksena asennettuna Excel 2007:ssä, vaan se pitää ensin käydä hakemassa Office –painikkeen takaa löytyvästä Excelin asetukset –kohdasta. Excel käyttää Simplex –algoritmia optimointiongelman ratkaisemiseksi.

Lineaarista ohjelmointi voidaan käyttää sangen monenlaisten taloudellisten ongelmien ratkaisemiseen:
Tuotannon optimointiin
Investointipäätöksiin
Kuljetustehtäviin
Varaston hallintaan
Markkinointiin
Tuotevalintaan yms.

Esimerkki:

Tavoitefunktio: 8x+4,5y
Rajoitteet:
6x + 4y<= 36
6x<=24
4y<=32
x>=0
y>=0

Esimerkissä maksimoidaan kahden tuotteen valmistuksesta saatava voitto, kun myyntihinta ja tuotteen kustannukset on annettu ja rajoitteena on valmistusaika. Annettujen rajoitteiden vallitessa maksimivoitto on siis 45,5 rahayksikköä ja se saavutetaan tekemällä 4 puseroa ja 3 kappaletta housuja.

LP